图1 左侧海森伯、中间玻恩、右侧约当
恰是旧量子论的局限性，鼓励了当代量子力学的出身。1925年，维尔纳·海森伯在尚未了解“矩阵”这一数学器具的情况下，领先建议了矩阵力学的中枢念念想——这一表面自后被公觉得当代量子力学的发轫。海森伯接受和弘扬了爱因斯坦的念念想：物理表面应仅描摹可径直不雅测的物理量。因此，描摹原子不可依赖无法测量的“经典轨说念”。
在原子系统中，“电子轨说念”无法径直不雅测，不错测量的是能级跃迁产生的谱线频率与强度；传统电磁表面觉得发射频率与电子振动频率关联，而玻尔模子则指出谱线频率与能级差关联——为调合这一矛盾，海森伯建议：描摹系统状况的“坐标”不再是经典的对于时代的函数x(t)，而是一组矩阵元Xnm，代表系统在能级m与n之间的跃迁幅度。
随后，马克斯·玻恩与帕斯库尔·约当将这一念念想数学化，给出了基本力学量的矩阵对易干系；险些同期，保罗·狄拉克把柄海森伯的论文，意志到不可对易量的运算法例与经典力学的泊松括号的相似性，独处得回了正则量子化；此后，海森伯、约当和玻恩的“三个东说念主著作”将表面进行系统性详细和应用本质，矩阵力学庄重设备。
张开剩余85%扫数物理可不雅测量(位置、动量、能量等)均用“矩阵”暗意(自后保罗·狄拉克称之为“q数”，约翰·冯·诺依曼进一步明确为希尔伯特空间中的“算符”)，其运算法例与经典物理量迥然相异——最中枢的各异是“非交换性”，星空app注册即两个算符的乘积不餍足交换律()。若条款算符的洞开方程相貌与经典力学一致，则需餍足“海森伯—玻恩—约当对易干系”，即位置算符与动量算符有对易对于 。
除名海森伯的精神，按玻恩和约当的原始著作推导和餍足基本的对易干系。讨论一个动量为，坐标为，质地为M的质点在势场中洞开。假设和是矩阵或算子，目下分析。
为了八成相貌上回到经典力学，和随时代的变化仍然餍足与经典情况相貌同样的洞开方程：
其中是粒子所受外势。由此，餍足如下的时代演化方程：
带入洞开方程(1.1)，可讲解对易干系不随时代更动，等于某个常数C。又因为C†=-C， C应当是一个纯虚数，即C=iℏ。
由此讲解了和餍足基本对易干系：
应用上述基本对易干系，设想能量不错得回振子能量量子化：
与普朗克假设的谐振子能量抒发式比拟较，讲解ℏ等于普朗克常数。
矩阵力学的更始性意旨在于：澈底甩掉“电子轨说念”的图像化假设，以算符代数偏握本征值(对应可不雅测的物理量取值)看成表面中枢，使系统描摹聚焦于闹翻能级与跃迁法例，而非时空轨说念。很快，沃尔夫冈·泡应用这一表面，以高度的代数手段精确推导出氢原子能谱的细节，进一步展示了矩阵力学的展望才气和设想灵验性。
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